19 de noviembre de 2012

Existen muchas conexiones entre la música y la matemática. Una de las más clásicas es la relacionada con la construcción de las escalas musicales.

Pensamiento musical pitagórico.

El pensamiento de Pitágoras (ca.570-497AC) resulta difícil de analizar. La carencia de documento escrito alguno del propio maestro impide la reflexión directa de sus teorías en torno a la música. Los primeros escritos detallados, que datan de entre 150 y 250 años después de su muerte, se basan en historias transmitidas de manera oral y muestran grandes diferencias entre sí

Nacido en la isla de Samos, en la época del gran tirano Polycrates (¿-522 a. C.) pronto se trasladaría a Crotona (estando en desacuerdo con el gobierno tiránico vigente en su isla natal) donde fundaría su escuela religioso-matemática (a forma de secta), formada por sus discípulos, llamados pitagóricos en honor a su fundador.

“Todas las cosas eran números”

Los pitagóricos, ante el hecho de que muchos entes reales (para ellos, todos) podían ser explicados con principios matemáticos, llegaron a la conclusión de que las matemáticas constituían la verdadera representación de la realidad.

El término “matemáticas“, respondía en parte a la necesidad de denominar todo aquello “necesita ser aprendido” frente a lo que “no necesita ser aprendido” para su comprensión.

Esta «ciencia matemática» difiere del tratamiento actual. Los pitagóricos no estaban interesados en «formular o resolver problemas matemáticos». El interés de Pitágoras era el de «los principios» de la matemática, «el concepto de número» o «el concepto de triángulo» (u otras figuras geométricas). Pitágoras reconocía en los números propiedades tales como «personalidad», «masculinos y femeninos», «perfectos o imperfectos», «bellos y feos»

Las matemáticas incluían disciplinas distintas como la astronomía y la aritmética, las cuales se contraponían a otras disciplinas (denominadas con la noción de “música”- “perteneciente o relativo a las musas”-), como la poesía y la retórica, que supuestamente no necesitarían ese estudio previo para ser comprendidas.

La palabra música tenía un significado más amplio en la antigua Grecia que en la actualidad. En la mitología, las Musas eran nueve diosas hermanas protectoras de las artes y las ciencias:

–      Calíope (Καλλιόπη, ‘la de la bella voz’); musa de la elocuencia y poesía épica (canción narrativa).

–      Clío (Κλειώ, ‘la que ofrece gloria’); musa de la Historia (epopeya).

–      Erato (Ἐρατώ, ‘la amorosa’); musa de la poesía lírica-amorosa (canción amatoria).

–      Euterpe (Ευτέρπη, ‘la muy placentera’); musa de la música, especialmente del arte de tocar la flauta.

–      Melpómene (Μελπομένη, ‘la melodiosa’); musa de la tragedia.

–      Polimnia (Πολυμνία, ‘la muchos himnos’); musa de los cantos sagrados y la poesía sacra (himnos).

–      Talía (Θάλεια o Θαλία, ‘la festiva’); musa de la comedia y de la poesía bucólica.

–      Terpsícore (Τερψιχόρη, ‘la que deleita en la danza’); musa de la danza y poesía coral.

–      Urania (Ουρανία, ‘la celestial’). musa de la astronomía, poesía didáctica y las ciencias exactas.

Pitágoras describía la matemática como integrada por el estudio de la astronomía, la geometría, la aritmética y la música. Su contemporáneo Platón (427-347AC), en su República hace una subdivisión parecida. Más adelante estas cuatro ramas pasarán a conocerse como el quadrivium[1]. La aritmética permitía la comprensión del universo físico y espiritual, en tanto que la música era un ejemplo de la armonía universal.

El Quadrivium pitagórico

Fragmento del códice de Nicolo da Bologna Las Virtudes y las Artes de 1355. Biblioteca Ambrosiana de Milan.

Las cuatro Artes Liberales del Quadrivium pitagórico –Aritmética, Geometría, Música y Astronomía– se representan de manera alegórica en forma de figuras de mujeres que llevan cada una de ellas atributos e instrumentos matemáticos distintivos. Las damas son como musas de los sabios matemáticos que las acompañan –en este icono la Aritmética infunde la sabiduría a Pitágoras, la Geometría a Euclides, la Música a Tubalcaín y la Astronomía a Ptolomeo–. En otras representaciones del Quadrivium pitagórico es la Música quien asiste a Pitágoras, siendo entonces la Aritmética la consejera de Boecio.

El monocordio

Según Nicómaco, Gaudencio, Porfirio, Diógenes Laercio, Teón de Esmirna, Jámblico, Boecio y otros pitagóricos, Pitágoras estudió, quizá por primera vez en la historia, las primeras leyes cuantitativas de la Acústica, al determinar el fundamento matemático de la armonía musical con la realización de la primera experiencia científica que consigna la historia, mediante la construcción de un instrumento, el monocordio (Jámblico, XXXVI.119; Diógenes Laercio, VIII.12),con el propósito de interrogar a la naturaleza y obligarla a responder a una cuestión concreta: ¿cuál es la relación precisa, si es que existe, entre la armonía musical y los números?

Pitágoras descubre que las cuerdas que daban el tono, la cuarta, la quinta y la octava, tenían longitudes proporcionales a 12, 9, 8 y 6. Y puesto que las razones entre los números 12, 9, 8 y 6 son iguales a las que hay entre 1, 3/4, 2/3 y 1/2, que son las más sencillas que se pueden formar con los números de la sagrada Tetractys, 1, 2, 3 y 4, Pitágoras dedujo que ésta es «la fuente y raíz de la Naturaleza eterna» como dicen los Versos Dorados.

El fundamento matemático de la armonía musical se representa en la tablilla sostenida por un joven discípulo de Pitágoras en La escuela de Atenas de Rafael Sanzio (1483-1520). Por el pórtico central entran Platón (izq.) sosteniendo el Timeo y Aristóteles (dcha.) sosteniendo la Ética.

En la parte superior de las cuerdas de la lira aparecen con tipografía romana los números 6, 8, 9, 12, de las proporciones musicales. Las consonancias musicales se denominan de forma literal y numérica: diatéssaron (6/8, 9/12); diapente (6/9 y 8/12); diapasón u octava (6/12). Además, en la parte inferior del diagrama de Rafael aparece el número 10 bajo la forma de la sagrada Tetractys como emblema pitagórico que resume las razones musicales.

Dos sonidos tocados en simultáneo resultan agradables cuando el cociente entre sus frecuencias es una fracción que puede escribirse de tal forma que su numerador y su denominador sean números enteros pequeños. Entonces, la primera nota que agregaríamos es la que tiene frecuencia 3, pero como queremos agregar frecuencias intermedias entre 1 y 2, agregamos la frecuencia 3/ 2 (¡ya que 3 es el doble de 3/2!). En el lenguaje usual de la música clásica occidental, el intervalo entre dos notas tales que la frecuencia de una es 3/2 de la de la otra, se llama una quinta, mientras que el intervalo formado por una nota y la del doble de su frecuencia se llama octava.

El sistema de Pitágoras parte del axioma que obliga a cualquier intervalo a expresarse como una combinación de un número mayor o menor de quintas perfectas. Partiendo de una nota base se obtienen las demás notas de una escala diatónica mayor encadenando hasta seis quintas consecutivas por encima y una por debajo, lo que da lugar a las siete notas de la escala. Por ejemplo, si partimos de la nota Do, obtenemos:

Fa  Do  Sol  Re  La  Mi  Si

Cuando se continúa el enlace de quintas hasta encontrar las doce notas de la escala cromática, la quinta número doce llega a una nota que no es igual a la nota que se tomó como base en un principio. Al reducir las doce quintas en siete octavas, el intervalo que se obtiene no es el unísono, sino una pequeña fracción del tono llamada comma (o coma) pitagórica[2].

Esto no es una anomalía del cálculo aunque pueda parecerlo si uno intenta afinar las doce notas de la escala cromática, mediante el encadenamiento de quintas perfectas. Simplemente la quinta es incompatible con la octava (o el unísono) y esta diferencia puede resolverse de muchas maneras que dan lugar a distintos sistemas de afinación derivados del sistema de Pitágoras.

La forma más simple es dejar la última quinta con el valor “residual” que le corresponda después de encadenar las otras once. Esta quinta será una coma pitagórica más pequeña que la quinta perfecta, y se conoce como quinta del lobo.

Se forma entonces un círculo de quintas que no llega a cerrarse; el círculo de quintas no cerrado es en realidad una porción de la espiral que se obtendría al continuar encadenando quintas. La limitación de los sonidos a doce es determinante para la construcción de instrumentos de teclado e instrumentos de cuerda con trastes.

Mi  Si  Fa  Do  Sol  Re  La  Mi  Si  Fa  Do  Sol

Los cocientes entre las frecuencias de las notas de esta escala y la nota con la cual empezamos la construcción (llamada tónica) están dadas por

Si haemos el conciente entre las frecuencias de dos notas sucesivas de la escala, obtenemos los números 37/211 (1,0679) y 28/35 (1,0534). Este intervalo, entre una nota y la siguiente se llama semitono. La existencia de dos semitonos distintos trae consecuencias indeseadas al transportar un motivo musical en un instrumento de afinación fija como el piano.

Filosofía: Máthesis y Ákousma

El inventor del término filosofía fue Pitágoras, usando por vez primera dicho término y autodenominándose filósofo. En la palabra filosofía recogió dos modos de saber que su escuela denominó máthesis y ákousma, lo que se entiende por contemplación y comprensión. Las ciencias pitagóricas no son sino los dos primeros pasos del filosofar, que consiste en aprender a ver y saber escuchar, es decir, las dos actividades humanas por excelencia (Platón, Libro VII de la República).

Harmonia: Cosmos

Las matemáticas y la música se unen en el concepto pitagórico de harmonia que significa, en primer lugar, proporción de las partes de un todo. No olvidemos que Pitágoras fue el primero en llamar cosmos al conjunto de todas las cosas, debido al orden que existe en éste (según Aecio). Este orden por el que se rige el Cosmos es dinámico: El universo está en movimiento y es el movimiento de los astros y de las fuerzas que los mueven el que se ajusta en un todo harmónico. Así, si el Cosmos es harmonia, también el alma es harmonia, para los pitagóricos. Las matemáticas y la música, lo que se aprende por los ojos, y lo que se aprende por los oídos, constituyen los dos caminos para curación del alma.

Música de las esferas[3]

Esta teoría filosófica pitagórica, postulaba que el universo como si de un instrumento se tratase, a través del movimiento de las esferas producía una serie de sonidos. Esto es, las esferas, al moverse, producirían una serie de sonidos, los cuales no serían perceptibles por el hombre por haberse acostumbrado éstos a ellos con el paso de los años.

Esta observación no está nada alejada de la realidad, se ha descubierto que la atmósfera del Sol emite realmente sonidos ultrasónicos y que interpreta una partitura formada por ondas que son aproximadamente 300 veces más graves que los tonos que pueda captar el oído humano[4].

Para los pitagóricos, por tanto, el Universo manifiesta proporciones “justas”, establecidas por ritmos y números, que originan un canto armónico. El cosmos, a sus ojos, es por tanto un sistema en el que se integran las siete notas musicales con los siete cuerpos celestes conocidos entonces (el Sol, la Luna y los cinco planetas visibles). A estos planetas se añadían tres esferas suplementarias que alcanzaban el 10, el número perfecto (al igual que el tetraktys).

La tradición que consideraba al Universo como un gran instrumento musical se prolonga durante la Edad Media y hasta el siglo XVII. El astrónomo Kepler (1571-1630), en su obra Harmonices Mundi, estableció que un astro emite un sonido que es más agudo tanto en cuanto su movimiento es más rápido, por lo que existen intervalos musicales bien definidos que están asociados a los diferentes planetas. Kepler llegó a componer seis melodías que se correspondían con los seis planetas del sistema solar conocidos hasta entonces. Al combinarse, estas melodías podían producir cuatro acordes distintos, siendo uno de ellos el acorde producido al inicio del universo, y otro de ellos el que sonaría a su término.

Kepler obtiene la siguiente escala de canto duro: Sol (Saturno en el afelio), La (sonido vacante), Si (Saturno en el perihelio y Júpiter en el afelio), Do (Marte en perihelio), Do # (Mercurio en el afelio), Re (Júpiter en el perihelio), Mi (Mercurio en perihelio y Venus en afelio), Fa # (Marte en afelio) y Sol (Tierra en afelio). En esta relación, como apunta Kepler en la cita anterior, faltan los movimientos en el perihelio de Venus y la Tierra y el del afelio de Mercurio.

Einstein, por ejemplo, descubrió la Relatividad porque estaba convencido de la armonía del Universo.  El nuevo lenguaje de la física y la astrofísica habla de espectros, frecuencias, resonancias, vibraciones y de análisis armónico, según el cual una señal variable en el tiempo puede describirse mediante una composición de funciones trigonométricas.

En este contexto de búsqueda de la armonía, un satélite enviado al espacio, en abril de 1998 por la NASA, el Transition Region and Coronal Explorer (TRACE), ha encontrado que la atmósfera del Sol realmente “suena”, debido a que está llena de ultrasonidos en forma de ondas[5]. Se trata de un “ultrasonido solar” que interpreta una partitura formada por ondas 300 veces más profundas que el sonido de la más profunda vibración audibles por el oído humano, con una frecuencia de 100 mili Hertz en periodos de 10 segundos y que en diez segundos estas ondas se convierten en ultrasónicas debido a que los átomos individuales experimentan en el Sol sólo unas pocas colisiones durante el paso breve de cada onda, al igual que ocurre con el ultrasonido aquí, en la tierra.

Un hertz es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo es 1 segundo. El ser humano no puede escuchar sonidos de frecuencia menor a 16 Hz (sonidos infrasónicos), ni mayor de 20 kHz (sonidos ultrasónicos o supersónicos).
En el mito de Er (La República), Platón nos ofrece una adaptación imaginativa de la armonía de las esferas. Decribe ocho notas diferentes, que conforman una armonía  que eran emitidas por sirenas sentadas en una órbita, las cuales representaban la esfera de las etrellas fijas y los siete planetas.

El mito habla de “El huso de la Necesidad”. El cosmos está representado por el Huso acompañado por sirenas y las tres hijas de la diosa Necesidad, conocidas colectivamente como Las Moiras. Su tarea es mantener el giro del huso. Las Moiras, las Sirenas y el Huso son utilizados en La República, en parte, para ayudar a explicar cómo los cuerpos celestes giraban alrededor de la Tierra de acuerdo con el entendimiento de Platón de la cosmología y la astronomía.

Colocados en la espira de su huso celeste había 8 “órbitas”. Cada una de estas órbitas creaban un círculo perfecto. Platón describe cada “órbita”, que, sin duda, representan a los cuerpos conocidos de nuestro sistema solar. En función de las descripciones de Platón, estas órbitas pueden ser identificadas como las de los planetas clásicos, que se corresponden con las esferas planetarias aristotelianas: Órbita 1 – Estrellas, Órbita 2 – Saturno, Órbita 3 – Júpiter, Órbita 4 – Marte, Órbita 5 – Mercurio, Órbita 6 – Venus, Órbita 7 – Sol, Órbita 8 – Luna

Como referencia más reciente podemos citar al compositor inglés Gustavus Theodore von Holst nacido en Cheltenham, Inglaterra el 21 de septiembre de 1874 y muerto el 25 de mayo de 1934. Su obra Los Planetas op, 32, fue compuesta entre 1914 y 1918 (durante los 4 años que duró la I Guerra Mundial). Es una suite de siete movimientos a cada uno de los cuales Holst le dio el nombre de un planeta (y su correspondiente deidad en la mitología grecorromana).

La suite está formada por los siguientes movimientos:

  • Marte, el portador de la guerra.
  • Venus, el portador de la paz.
  • Mercurio, el mensajero alado.
  • Júpiter, el portador de la alegría.
  • Saturno, el portador de la vejez.
  • Urano, el mago.
  • Neptuno[6], el místico.

La física del sonido

El sonido, en física, es cualquier fenómeno que involucre la propagación en forma de ondas elásticas (sean audibles o no), generalmente a través de un fluido (u otro medio elástico) que esté generando el movimiento vibratorio de un cuerpo.

El sonido tiene una velocidad de 331,5 m/s cuando: la temperatura es de 0 °C, la presión atmosférica es de 1 atm (nivel del mar) y se presenta una humedad relativa del aire de 0 % (aire seco). Aunque depende muy poco de la presión del aire.

Las cuatro cualidades básicas del sonido son la altura, la duración, la intensidad y el timbre o color.

La altura, indica si el sonido es grave, agudo o medio, y viene determinada por la frecuencia fundamental de las ondas sonoras, medida en ciclos por segundo o hercios (Hz).

vibración lenta = baja frecuencia = sonido grave.

vibración rápida = alta frecuencia = sonido agudo.

Para que los humanos podamos percibir un sonido, éste debe estar comprendido entre el rango de audición de 20 y 20.000 Hz. Por debajo de este rango tenemos los infrasonidos y por encima los ultrasonidos. A esto se le denomina rango de frecuencia audible. Cuanta más edad se tiene, este rango va reduciéndose tanto en graves como en agudos.

La intensidad es la cantidad de energía acústica que contiene un sonido, es decir, lo fuerte o suave de un sonido. La intensidad viene determinada por la potencia, que a su vez está determinada por la amplitud y nos permite distinguir si el sonido es fuerte o débil.

El fenómeno físico armónico

“El fenómeno fisico armónico es el resultado obtenido de la vibración libre de una cuerda ideal entre dos apoyos rígidos. El primero en dar una explicación científica fue el francés Joseph Sauveur. Su trabajo sobre los armónicos superiores se publicó en 1701 y tuvo tal importancia que en 1722 Rameau basaría en él su” Teoría de la armonía”.

La música espectral

A principios de los años setenta, un grupo de jóvenes compositores  comienza a escribir obras ciertamente diferentes en relación a las de sus contemporáneos. La música de estos jóvenes compositores consistía en lentos desarrollos armónicos vacíos de melodía o sensación de pulso, lo cual no construye una música falta de coherencia.

Estos compositores estaban interesados en el campo de desarrollo de la música por ordenador así como en las investigaciones acústicas y su música refleja estos intereses. En general estaban muy interesados en la naturaleza del sonido, en particular, en las series de armónicos. Muchas de las ideas empleadas por estos compositores se inspiran en la música electrónica dejándose llevar por sonidos ricos y exóticos.

A finales de los setenta encontramos una gran lista de trabajos en las cuales los compositores intentan codificar este tipo de música. Fue Hugues Dufourt quien dio nombre al estilo en una articulo de 1979 titulado “Música Espectral”.  El artículo habla de la tendencia de la música a centrarse en la microestructura del sonido, las siempre cambiantes relaciones entre las alturas de un grupo de armónicos y su desarrollo en el tiempo. El espectro puede influenciar la orquestación, como amplitudes relativas de ciertos instrumentos pueden reflejar las amplitudes relativas de las alturas de una serie armónica concreta. Por ejemplo, una determinada orquestación puede representar la sonoridad particular de una nota suave del piano. Sobretodo si el espectro se basa en una modificación electrónica del sonido.

 

Gérard Grisey (1946-1998) y Tristan Murail (1947) son los dos compositores “espectrales” franceses de mayor renombre. Su música propone una autentica estética basada en la predominancia del timbre, una tendencia estrechamente ligada a instituciones como IRCAM (Institut de Recherche Coordination Acoustique et Musique) y GRM (Groupe de Recherche Musicale) así como a trabajos de compositores como Oliver Messiaen, György Ligeti, Iannis Xenakis y Karlheinz Stockhausen (el cual consideró el timbre proyectado sobre el ritmo y la forma en su articulo “…wie die Zeit vergeht…”). Sin embargo, a pesar de que muchos compositores reservan un lugar destacado al timbre en sus obras, serán los propios de la escuela espectral los que tomen el timbre como el eje de sus composiciones, en concreto con el empleo de los armónicos como punto de referencia.

La idea de armónico es un concepto teórico que describe una serie o grupo de vibraciones cuyas frecuencias son múltiplos de una frecuencia original (f_1). El resto de los elementos se denominan como segundo parcial (f_2), que se corresponde con 2 x f_2, el tercer parcial (f_3), que se corresponde con 3 x f_3, y así los siguientes.

En el siguiente ejemplo se muestra una serie de armónicos. El sonido grave  (41.2 Hz) es el fundamental y a continuación los primeros treinta y dos parciales. Las diferencias microtonales generadas en este proceso se indican con fracciones de cuartos y sextos de tono.

Sin embargo la originalidad de la música espectral consiste no solo en el empleo de la serie de armónicos superiores. En 1850 el físico alemán Hermann Helmholtz descubre como el “color” del sonido está influido por el mayor o menor número de parciales en su estructura. Una estructura que adquiere la importancia de las células o motivos de la tradición.

Este concepto de eliminar el motivo como el elemento constitutivo principal de la composición sustituyéndolo por el color del timbre se proyecta en las ponencias de Grisey durante su presencia en los cursos de Darmstadt en 1978:

El material deriva del aumento natural de la sonoridad, de la macroestructura y no de otro modo. E otras palabras no hay un material básico (no hay células melódicas ni construcciones de notas o figuras)

a)     Armónico/Inarmónico

El origen de la música espectral esta estrechamente ligado al desarrollo de las nuevas tecnologías y más concretamente a los ordenadores, cuyos refinamientos permiten analizar el sonido, el espectro de los parciales y sus amplitudes relativas. El concepto básico de timbre empleado por los compositores espectrales esta muy influenciado por técnicas electrónicas, en concreto la síntesis aditiva. Este método consiste en la suma de frecuencias con la intención de construir un complejo.

El comienzo de Partiels[7] (1975), Grisey se haya estimulado por el análisis espectral de un pedal  (41.2 Hz) en el trombón. En este sentido distribuye las frecuencias escogidas en la instrumentación. Es por esto que esta técnica bien podría llamarse “síntesis aditiva instrumental”. El siguiente ejemplo muestra una selección de las frecuencias escogidas por Grisey y la asignación de instrumentos.

La orquestación respeta, a gran escala, no solo las frecuencias en sí mismas, sino el momento de inicio proporcional entre la entrada del trombón y el parcial en el sonograma. Así mismo se tiene en cuenta la dinámica de cada uno de los componentes. En este sentido su análisis del sonido revelaba que la dinámica del cuarto trombón del parcial es suave, con lo cual Grisey lo considera un armónico del contrabajo, mucho más transparente que otros en cuanto a sonoridad.

Todos los componentes de la frecuencia del ejemplo son múltiplos de la nota fundamental Mi, con lo cual estamos tratando de un espectro “armónico”. Si algún componente no fuese un múltiplo de la fundamental, el fenómeno se conoce como “inarmónico”. Se consideran en este sentido diversos grados de inarmonía. El desarrollo de la primera sección de Partiels se basa en este concepto.

Durante el transcurso de las once repeticiones de esta sonoridad, los componentes inarmónicos son introducidos gradualmente con la intención de enturbiar el timbre inicial. El siguiente cuadro muestra la progresiva inclusión de elementos extraños al espectro original[8].

Por lo pronto en el cuadro observamos que el primer inarmónico aparece en el tercer compás cuando el armónico quincuagésimo séptimo (o lo que es lo mismo el que hace el número 57) del Mi (Re_7: 2348.6 Hz) es presentado una octava grave (Mi_1  Re_6: 1174.3 Hz), por la percusión. En la sexta repetición, el armónico cincuenta y uno del Mi grave sigue el mismo patrón (Do_7: 2101.5 Hz, transportado una octava inferior a Do_6: 1050.8 hz) mientras el parcial cincuenta y siete que ya se encontraba una octava grave es transportado una octava más a Re_5 (587.2 Hz). Continua el mismo proceso hasta el compás once en que solo dos armónicos permanecen: el Mi_3 y el Si_3 (el cuarto y el sexto parcial respectivamente).

 

 

 

 

 


[1] Artes liberales es la expresión de un concepto medieval, heredado de la antigüedad clásica, que hace referencia a las artes (disciplinas académicas, oficios o profesiones) cultivadas por hombres libres; por oposición a las artes serviles (oficios viles y mecánicos), propias de los siervos o esclavos. La consideración negativa del trabajo propia de la justificación ideológica de los modos de producción esclavista y feudal marcaba una nítida oposición entre el trabajo intelectual (estado idealizado de las clases altas de Grecia y Roma, y único consentido a los estamentos privilegiados del feudalismo y el Antiguo Régimen) y el trabajo manual (propio de las clases populares).

Trivium significa en latín “tres vías o caminos”; agrupaba las disciplinas relacionadas con la elocuencia, según la máxima Gram. loquitur, Dia. vera docet, Rhet. verba colorat (“la gramática ayuda a hablar, la dialéctica ayuda a buscar la verdad, la retórica colorea las palabras). Así comprendían la gramática (lingua -“la lengua”-), dialéctica (ratio -“la razón”-) y retórica (tropus “las figuras”).

Quadrivium significa “cuatro caminos”; agrupaba las disciplinas relacionadas con las matemáticas, según la máxima Ar. numerat, Geo. ponderat, As. colit astra, Mus. canit. (“la aritmética numera, la geometría pondera, la astronomía cultiva los astros, la música canta”); Arquitas (428 a. C. – 347 a. C.) sostuvo que la matemática estaba constituida por tales disciplinas también. Se estudiaba así la aritmética (numerus -“los números”-), geometría (angulus -“los ángulos”-), astronomía (astra -“los astros”-) y música (tonus “los cantos”).

[2] Podemos establecer una comparación razonable entre la comma  y el bis sextus dies ante calendas martii, el sexto día antes de las calendas (primer día del mes) de marzo, dia que se añade para corregir el desfase que existe con respecto a la duración del año trópico: 365 días 5 h 47 min 45,25 s (365,242190402 días). Esto requiere que cada cuatro años se corrija lo que cada 24 horas se acumula por el transcurso de cada día.

Transcurría el año 704 a. u. c., aproximadamente el 49 a. C., cuando Julio César llegó a Egipto. Hasta entonces el calendario romano cargaba con siglos de desfases debido a su imprecisión. Entre otras cosas, Julio encontró un excelente calendario en las tierras de Cleopatra. Fue entonces cuando delegó a Sosígenes de Alejandría, astrónomo, matemático y filósofo, la tarea de diseñar un nuevo calendario a la altura y exactitud que el imperio necesitaba. Sosígenes entregó a Julio su calendario entre el 48 y el 46 a. C., basado principalmente en el calendario egipcio, pero conservando los nombres de los meses romanos. Este calendario poseía una duración de 365 días y un día adicional inicialmente cada 3 años, para compensar un desfase natural producido por la revolución no sincrónica de la Tierra en torno al Sol.

La compensación de los desfases que tenía acumulados el calendario romano obligó a que el año 46 a.C. se convirtiera en el año más largo de la historia, con 445 días de duración para compensar e iniciar nuevamente de cero. A este inusual año se le llamó “año juliano” o el “año de la confusión”.

[3] Las ondas sonoras no se pueden propagar en el espacio vacío pero sí lo hacen las ondas electromagnéticas que pueden ser grabadas con espectógrafos. El universo primigenio, justo después del Big Bang era un plasma compuesto principalmente por electrones , fotones, protones y neutrones. Los electrones no se podían unir a los protones y a los neutrones para formar átomos porque la temperatura de dicho plasma era muy alta, por lo que los electrones interactuaban constantemente con los fotones (partículas/ondas de luz). A medida que el universo se fue expandiendo, el plasma se enfría hasta permitir que los electrones se combinen con protones y formen átomos de hidrógeno. Esto ocurrió unos 380000 años después del Big Bang. A partir de ese momento, los fotones pudieron viajar libremente a través del espacio sin colisionar con los electrones dispersos. La radiación de fondo de microondas es precisamente el resultado de ese periodo, es el ruido que hace el universo, o sea, el eco que quedó de la gran explosión que dio le dio origen. En el año 1964 los físicos Arno Alan Penzias y Robert Woodrow Wilson, mientras trabajaban en el diseño de una antena encontraron, de forma casual, una fuente de ruido en la atmósfera que no podían explicar. Finalmente la identificaron como radiación cósmica de fondo de microondas lo que confirmaba lo expuesto en el párrafo anterior y por tanto la teoría del Big Bang. Este hallazgo les supuso catorce años después el premio Nóbel de física. Esta radiación es la famosa “nieve” que se ve en nuestro televisor cuando lo tenemos en funcionamiento sin sintonizar ningún canal.

[6] Neptuno, como ya queda dicho, usa un coro femenino sin texto. Pero a diferencia de Debussy, Holst lo ubica tras el escenario, “en una habitación contigua, cuya puerta debe quedar abierta hasta que termine el movimiento y todo quede en silencio” según rezan las indicaciones de la partitura.

[7] Desde la presentación de Modulations Grisey comenta: “la forma de esta pieza es la historia misma de los sonidos que la componen. Los parámetros del sonido están orientado y dirigidos por un creciente proceso de modulación. Procesos que fueron descubiertos por la acústica: espectros armónicos. Espectros de parciales, transitorios, formantes, sonidos adicionales, sonidos diferenciales, ruidos blancos, filtros,… De otra parte el análisis del sonograma de los metales y de las sordinas…”. El compositor comprende el análisis de la forma como un sucesión de tensiones y relajaciones.

[8] Los sonidos inarmónicos están indicados con cabezas negras en contraste con las cabezas blancas que indicas componentes armónicos.  Los tres sistemas superiores del cuadro muestran las voces del viento madera, la percusión y cuerdas/acordeón, respectivamente.